Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 5.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - \int \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - (2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x)$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Étape 9.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Étape 9.3

Retirez $x^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Étape 9.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 9.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Étape 9.4.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Étape 9.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$2 x^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{3}{2}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 11.2.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 11.2.3

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 11.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 11.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 11.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 11.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{1} x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 11.2.3.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{2}{3}} + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{2}{3}} + C$