Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(3 x^{2} - 6 x + 1)}^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 3 x^{2} - 6 x + 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{2} - 6 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{2} - 6 x + 1$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 6 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.7

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 + 0)$

Étape 2.9

Additionnez $6 x - 6$ et $0$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 (3 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

Étape 3.2

Associez des termes.

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Étape 3.2.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$(6 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

Étape 3.2.2

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 2) (6 x - 6)$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(6 x^{2} - 12 x + 2) (6 x - 6)$ .

$(6 x - 6) (6 x^{2} - 12 x + 2)$