Calcul infinitésimal Exemples

$5 x^{3} - x^{2} + 3 y = 2 + 4 y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (5 x^{3} - x^{2} + 3 y) = \frac{d}{d x} (2 + 4 y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{3} - x^{2} + 3 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$15 x^{2} - 2 x + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$15 x^{2} - 2 x + 3 y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Étape 3.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$0 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$0 + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$0 + 4 (2 y y')$

Étape 3.2.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$0 + 8 y y'$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $8 y y'$ .

$8 y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$15 x^{2} - 2 x + 3 y' = 8 y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $8 y y'$ des deux côtés de l’équation.

$15 x^{2} - 2 x + 3 y' - 8 y y' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $15 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x + 3 y' - 8 y y' = - 15 x^{2}$

Étape 5.2.2

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y' - 8 y y' = - 15 x^{2} + 2 x$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $3 y' - 8 y y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 y'$ .

$y' \cdot 3 - 8 y y' = - 15 x^{2} + 2 x$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 8 y y'$ .

$y' \cdot 3 + y' (- 8 y) = - 15 x^{2} + 2 x$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 3 + y' (- 8 y)$ .

$y' (3 - 8 y) = - 15 x^{2} + 2 x$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (3 - 8 y) = - 15 x^{2} + 2 x$ par $3 - 8 y$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 - 8 y) = - 15 x^{2} + 2 x$ par $3 - 8 y$ .

$\frac{y' (3 - 8 y)}{3 - 8 y} = \frac{- 15 x^{2}}{3 - 8 y} + \frac{2 x}{3 - 8 y}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 - 8 y$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 - 8 y)}{3 - 8 y} = \frac{- 15 x^{2}}{3 - 8 y} + \frac{2 x}{3 - 8 y}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 15 x^{2}}{3 - 8 y} + \frac{2 x}{3 - 8 y}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 15 x^{2} + 2 x}{3 - 8 y}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- 15 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 5.4.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 15 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 15 x) + 2 x}{3 - 8 y}$

Étape 5.4.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$y' = \frac{x (- 15 x) + x \cdot 2}{3 - 8 y}$

Étape 5.4.3.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 15 x) + x \cdot 2$ .

$y' = \frac{x (- 15 x + 2)}{3 - 8 y}$

Étape 5.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 15 x$ .

$y' = \frac{x (- (15 x) + 2)}{3 - 8 y}$

Étape 5.4.3.4

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{x (- (15 x) - 1 (- 2))}{3 - 8 y}$

Étape 5.4.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (15 x) - 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{x (- (15 x - 2))}{3 - 8 y}$

Étape 5.4.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.3.6.1

Réécrivez $- (15 x - 2)$ comme $- 1 (15 x - 2)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (15 x - 2))}{3 - 8 y}$

Étape 5.4.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x (15 x - 2)}{3 - 8 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (15 x - 2)}{3 - 8 y}$