Calcul infinitésimal Exemples

$y = \csc^{4} (2 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \csc (2 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (2 x)$ .

$4 \csc^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$4 \csc^{3} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$4 \csc^{3} (2 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$4 \csc^{3} (2 x) (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \csc^{3} (2 x) (\csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4

Élevez $\csc (2 x)$ à la puissance $1$ .

$- 4 (\csc^{1} (2 x) \csc^{3} (2 x)) (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 {\csc (2 x)}^{1 + 3} (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 6

Additionnez $1$ et $3$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x) (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Étape 10

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x)$