Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - x^{4} + x^{3} + 19$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} + x^{3} + 19$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 1.3.2

Comme $19$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $19$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 0$

Étape 1.3.3

Additionnez $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ et $0$ .

$- 4 x^{3} + 3 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 3 (2 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{4} + x^{3} + 19$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 4.1.3.2

Comme $19$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $19$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 0$

Étape 4.1.3.3

Additionnez $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 3 x^{2}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ .

$- 4 x^{3} + 3 x^{2}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 x^{3} + 3 x^{2} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$- x^{2} (4 x) + 3 x^{2} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$- x^{2} (4 x) - x^{2} \cdot - 3 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $- x^{2} (4 x) - x^{2} (- 3)$ .

$- x^{2} (4 x - 3) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$4 x - 3 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $4 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $4 x - 3$ égal à $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $4 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 3$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 3$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x^{2} (4 x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{3}{4}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \frac{3}{4}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 12 {(0)}^{2} + 6 (0)$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 6 (0)$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$0 + 6 (0)$

Étape 9.1.3

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - 4 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = - 4 \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = 32 + 3 {(- 2)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = 32 + 3 \cdot 4$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (- 2) = 32 + 12$

Étape 10.2.2.2

Additionnez $32$ et $12$ .

$f' (- 2) = 44$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $44$ .

$44$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $0.38$ , de l’intervalle $(0, \frac{3}{4})$ dans la dérivée première $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0.38$ dans l’expression.

$f' (0.38) = - 4 {(0.38)}^{3} + 3 {(0.38)}^{2}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

Élevez $0.38$ à la puissance $3$ .

$f' (0.38) = - 4 \cdot 0.054872 + 3 {(0.38)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $0.054872$ .

$f' (0.38) = - 0.219488 + 3 {(0.38)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.3

Élevez $0.38$ à la puissance $2$ .

$f' (0.38) = - 0.219488 + 3 \cdot 0.1444$

Étape 10.3.2.1.4

Multipliez $3$ par $0.1444$ .

$f' (0.38) = - 0.219488 + 0.4332$

Étape 10.3.2.2

Additionnez $- 0.219488$ et $0.4332$ .

$f' (0.38) = 0.213712$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $0.213712$ .

$0.213712$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $3$ , de l’intervalle $(\frac{3}{4}, \infty)$ dans la dérivée première $- 4 x^{3} + 3 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = - 4 {(3)}^{3} + 3 {(3)}^{2}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (3) = - 4 \cdot 27 + 3 {(3)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $27$ .

$f' (3) = - 108 + 3 {(3)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.3

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.4.2.1.3.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 10.4.2.1.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f' (3) = - 108 + 3 {(3)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (3) = - 108 + 3^{1 + 2}$

Étape 10.4.2.1.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (3) = - 108 + 3^{3}$

Étape 10.4.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (3) = - 108 + 27$

Étape 10.4.2.2

Additionnez $- 108$ et $27$ .

$f' (3) = - 81$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $- 81$ .

$- 81$

Étape 10.5

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{3}{4}$ , $x = \frac{3}{4}$ est un maximum local.

$x = \frac{3}{4}$ est un maximum local

Étape 11