Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ comme un produit.

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

Étape 2

Écrivez $\cos (m x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}]$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Divisez $\cos (m x)$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

Étape 3.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (n x)}$ à $\csc (n x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \csc (n x)]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (m x)$ et $g (x) = \csc (n x)$ .

$\cos (m x) \frac{d}{d x} [\csc (n x)] + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = n x$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $n x$ .

$\cos (m x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Étape 5.2

La dérivée de $\csc (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$\cos (m x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $n x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $n$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $n x$ par rapport à $x$ est $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \frac{d}{d x} [x])) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \cdot 1)) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Étape 6.3

Multipliez $n$ par $1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = m x$ .

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Étape 7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $m x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [m x])$

Étape 7.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [m x])$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $m x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) \frac{d}{d x} [m x])$

Étape 8

Différenciez.

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Étape 8.1

Comme $m$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $m x$ par rapport à $x$ est $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \cdot 1))$

Étape 8.3

Multipliez $m$ par $1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) m)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- n \cos (m x) \cot (n x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Étape 9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1

Réécrivez $\cot (n x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Étape 9.2.2

Multipliez $- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ .

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Étape 9.2.2.1

Associez $\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ et $n$ .

$- \frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cos (m x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Étape 9.2.2.2

Associez $\cos (m x)$ et $\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) (\cos (n x) n)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Étape 9.2.3

Réécrivez $\csc (n x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Étape 9.2.4

Multipliez $- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}$ .

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Étape 9.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (n x)}$ par $\frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Étape 9.2.4.2

Élevez $\sin (n x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Étape 9.2.4.3

Élevez $\sin (n x)$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin^{1} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Étape 9.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{{\sin (n x)}^{1 + 1}} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Étape 9.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Étape 9.2.5

Réécrivez $\csc (n x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \frac{1}{\sin (n x)} \sin (m x)$

Étape 9.2.6

Associez $\frac{1}{\sin (n x)}$ et $m$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{m}{\sin (n x)} \sin (m x)$

Étape 9.2.7

Associez $\sin (m x)$ et $\frac{m}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Étape 9.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1

Factorisez $\sin (n x)$ à partir de $\sin^{2} (n x)$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Étape 9.3.2

Séparez les fractions.

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Étape 9.3.3

Réécrivez $\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ comme un produit.

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Étape 9.3.4

Écrivez $\cos (m x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Étape 9.3.5

Simplifiez

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Étape 9.3.5.1

Divisez $\cos (m x)$ par $1$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Étape 9.3.5.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (n x)}$ à $\csc (n x)$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Étape 9.3.6

Séparez les fractions.

$- (\frac{n}{1} \cdot \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Étape 9.3.7

Convertissez de $\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ à $\cot (n x)$ .

$- (\frac{n}{1} \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Étape 9.3.8

Divisez $n$ par $1$ .

$- (n \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Étape 9.3.9

Séparez les fractions.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} \cdot \frac{\sin (m x)}{\sin (n x)})$

Étape 9.3.10

Réécrivez $\frac{\sin (m x)}{\sin (n x)}$ comme un produit.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

Étape 9.3.11

Écrivez $\sin (m x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\frac{\sin (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}))$

Étape 9.3.12

Simplifiez

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Étape 9.3.12.1

Divisez $\sin (m x)$ par $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

Étape 9.3.12.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (n x)}$ à $\csc (n x)$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \csc (n x)))$

Étape 9.3.13

Divisez $m$ par $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$

Étape 9.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m \sin (m x) \csc (n x)$