Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \sin (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) (2 x) d x$

Étape 2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - 2 \cos (x) x d x$

Étape 3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x)$

Étape 4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x)$

Étape 6

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1.1

Évaluez $x^{2} (- \cos (x))$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

Étape 7.1.2

Évaluez $x \sin (x)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

Étape 7.1.3

Évaluez $- \cos (x)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Étape 7.1.4

Simplifiez

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Étape 7.1.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) - 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Étape 7.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Étape 7.1.4.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 \cos (0) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Étape 7.1.4.4

Multipliez $0$ par $\cos (0)$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Étape 7.1.4.5

Additionnez ${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))$ et $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Étape 7.1.4.6

Associez $\frac{π}{2}$ et $\sin (\frac{π}{2})$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Étape 7.1.4.7

Multipliez $0$ par $\sin (0)$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Étape 7.1.4.8

Additionnez $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2}$ et $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Étape 7.1.4.9

Pour écrire $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2}{2})$

Étape 7.1.4.10

Associez $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ et $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2})$

Étape 7.1.4.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

Étape 7.1.4.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

Étape 7.1.4.13

Associez $2$ et $\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

Étape 7.1.4.14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.4.14.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

Étape 7.1.4.14.2

Divisez $π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ par $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Étape 7.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Étape 7.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))$

Étape 7.2.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

Étape 7.2.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} \cdot 0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

Étape 7.2.6

Multipliez ${(\frac{π}{2})}^{2}$ par $0$ .

$0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

Étape 7.2.7

Multipliez $π$ par $1$ .

$0 + π - 2 (- 0 + 1)$

Étape 7.2.8

Additionnez $0$ et $π$ .

$π - 2 (- 0 + 1)$

Étape 7.2.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$π - 2 (0 + 1)$

Étape 7.2.10

Additionnez $0$ et $1$ .

$π - 2 \cdot 1$

Étape 7.2.11

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$π - 2$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$π - 2$

Forme décimale :

$1.14159265 \dots$