Calcul infinitésimal Exemples

$x + \cos (x + y) = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x + \cos (x + y)) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \cos (x + y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 2.2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$1 - \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 - \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 - \sin (x + y) (1 + y')$

Étape 2.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \sin (x + y) (1 + y') + 1$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \sin (x + y) (1 + y') + 1 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $- \sin (x + y) (1 + y') + 1$ .

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Étape 5.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y' + 1 = 0$

Étape 5.1.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' + 1 = 0$

Étape 5.1.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' + 1$ .

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) + 1 = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Ajoutez $\sin (x + y)$ aux deux côtés de l’équation.

$- y' \sin (x + y) + 1 = \sin (x + y)$

Étape 5.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$ par $- \sin (x + y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$ par $- \sin (x + y)$ .

$\frac{- y' \sin (x + y)}{- \sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y' \sin (x + y)}{\sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $\sin (x + y)$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \sin (x + y)}{\sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $\sin (x + y)$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{1}{- 1} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Étape 5.3.3.1.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot 1 + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = - 1 + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Étape 5.3.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y' = - 1 + \frac{1}{\sin (x + y)}$

Étape 5.3.3.1.4

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x + y)}$ à $\csc (x + y)$ .

$y' = - 1 + \csc (x + y)$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 1 + \csc (x + y)$