Calcul infinitésimal Exemples

$2^{2 x + 3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 2^{x}$ et $g (x) = 2 x + 3$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 3$ .

$2^{2 x + 3} \ln (2) \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2^{2 x + 3} \ln (2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2^{2 x + 3} \ln (2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2^{2 x + 3} \ln (2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2^{2 x + 3} \ln (2) (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2^{2 x + 3} \ln (2) (2 + 0)$

Étape 2.6

Additionnez $2$ et $0$ .

$2^{2 x + 3} \ln (2) \cdot 2$

Étape 3

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{2 x + 3} \ln (2)$

Étape 4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{1 + 2 x + 3} \ln (2)$

Étape 5

Additionnez $1$ et $3$ .

$2^{2 x + 4} \ln (2)$