Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{d x}{\sqrt{x}}$ comme une fonction.

$f (d) = \frac{d x}{\sqrt{x}}$

Étape 2

La fonction $F (d)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (d)$ .

$F (d) = \int f (d) d \cdot d$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (d) = \int \frac{d x}{\sqrt{x}} d \cdot d$

Étape 4

Comme $\frac{x}{\sqrt{x}}$ est constant par rapport à $d$ , placez $\frac{x}{\sqrt{x}}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x}{\sqrt{x}} \int d d \cdot d$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $d$ par rapport à $d$ est $\frac{1}{2} d^{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{x}} (\frac{1}{2} d^{2} + C)$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{x}{\sqrt{x}} (\frac{1}{2} d^{2} + C)$ comme $\frac{x \sqrt{x}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$ .

$\frac{x \sqrt{x}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 6.2.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{\frac{1}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 6.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + \frac{1}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 6.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 6.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{2 + 1}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 6.2.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 6.2.3

Placez $x^{1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 6.2.4

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{\frac{3}{2} - 1} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 6.2.4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 6.2.4.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 6.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 6.2.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{\frac{3 - 2}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 6.2.4.5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Étape 6.2.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $d^{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d^{2}}{2} + C$

Étape 6.2.6

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{d^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} d^{2}}{2} + C$

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} d^{2} + C$

Étape 7

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (d) = \frac{d x}{\sqrt{x}}$ .

$F (d) =$ $\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} d^{2} + C$