Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - x (x + 2) (x - 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x (x + 2) (x - 2)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [(x (x + 2)) (x - 2)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x (x + 2)) (x - 2)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x (x + 2)$ et $g (x) = x - 2$ .

$- (x (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- (x (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Étape 1.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (x (x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Étape 1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- (x (x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Étape 1.3.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 2$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.5

Différenciez.

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Étape 1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.5.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.5.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + (x + 2) \cdot 1))$

Étape 1.5.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.5.6.1

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + x + 2))$

Étape 1.5.6.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (2 x + 2))$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x + x \cdot 2 + (x - 2) (2 x + 2))$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - ((x - 2) (2 x + 2))$

Étape 1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - ((x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot 2)$

Étape 1.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot 2)$

Étape 1.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.6

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.7

Associez des termes.

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Étape 1.6.7.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (x^{1} x) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.7.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (x^{1} x^{1}) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{1 + 1} - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- x^{2} - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.7.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- x^{2} - (2 \cdot x) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.7.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.7.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 (x^{1} x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.7.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 (x^{1} x^{1})) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.7.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{2} - 2 x - (2 x^{1 + 1}) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.7.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 x^{2}) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.7.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.7.12

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - (- 4 x) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.7.13

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.7.14

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - (2 \cdot x) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.7.15

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x - (- 2 \cdot 2)$

Étape 1.6.7.16

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x - - 4$

Étape 1.6.7.17

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x + 4$

Étape 1.6.7.18

Soustrayez $2 x$ de $4 x$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Étape 1.6.7.19

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 2 x + 2 x + 4$

Étape 1.6.7.20

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$- 3 x^{2} + 0 + 4$

Étape 1.6.7.21

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $0$ .

$- 3 x^{2} + 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- 6 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 3 x^{2} + 4 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x (x + 2) (x - 2)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [(x (x + 2)) (x - 2)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x (x + 2)) (x - 2)]$

Étape 4.1.2

$- (x (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- (x (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Étape 4.1.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (x (x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Étape 4.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- (x (x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Étape 4.1.3.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 2$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.1.5

Différenciez.

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Étape 4.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.1.5.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.1.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.1.5.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.1.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + (x + 2) \cdot 1))$

Étape 4.1.5.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.1.5.6.1

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + x + 2))$

Étape 4.1.5.6.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (2 x + 2))$

Étape 4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x + x \cdot 2 + (x - 2) (2 x + 2))$

Étape 4.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - ((x - 2) (2 x + 2))$

Étape 4.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - ((x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot 2)$

Étape 4.1.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot 2)$

Étape 4.1.6.5

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.6.6

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.6.7

Associez des termes.

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Étape 4.1.6.7.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (x^{1} x) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.6.7.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (x^{1} x^{1}) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.6.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{1 + 1} - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.6.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- x^{2} - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.6.7.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- x^{2} - (2 \cdot x) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.6.7.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.6.7.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 (x^{1} x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.6.7.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 (x^{1} x^{1})) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.6.7.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{2} - 2 x - (2 x^{1 + 1}) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.6.7.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 x^{2}) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.6.7.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.6.7.12

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - (- 4 x) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.6.7.13

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.6.7.14

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - (2 \cdot x) - (- 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.6.7.15

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x - (- 2 \cdot 2)$

Étape 4.1.6.7.16

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x - - 4$

Étape 4.1.6.7.17

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x + 4$

Étape 4.1.6.7.18

Soustrayez $2 x$ de $4 x$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Étape 4.1.6.7.19

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 2 x + 2 x + 4$

Étape 4.1.6.7.20

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$- 3 x^{2} + 0 + 4$

Étape 4.1.6.7.21

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 4$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 4$ .

$- 3 x^{2} + 4$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 4 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 4 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} = - 4$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 4$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 4$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 4}{- 3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 4}{- 3}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Étape 5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Étape 5.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.5.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 5.5.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 5.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 5.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 5.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 (2 \sqrt{3})$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 \sqrt{3}$

Étape 10

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.2

Multipliez $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 11.2.2.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ par $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.2.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.2.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.3

Multipliez $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2$ .

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Étape 11.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{- 2 (2 \sqrt{3})}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.4.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 11.2.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.4.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.4.1.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{12}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.4.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

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Étape 11.2.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 (4)}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 11.2.5

Développez $(- \frac{4}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3}) (\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot (\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2) - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$

Étape 11.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$

Étape 11.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.6.1.1

Multipliez $- \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 11.2.6.1.1.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ par $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2 \sqrt{3} \cdot 4}{3 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.1.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{3 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.2

Multipliez $- \frac{4}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 11.2.6.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + 2 (\frac{4}{3}) - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.2.2

Associez $2$ et $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{2 \cdot 4}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.3

Multipliez $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 11.2.6.1.3.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ par $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{2 \sqrt{3} (4 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.3.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.3.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{2}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 11.2.6.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.6.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.5

Multipliez $8$ par $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{24}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.6

Annulez le facteur commun à $24$ et $9$ .

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Étape 11.2.6.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 (8)}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.6.1.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 11.2.6.1.7

Multipliez $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 11.2.6.1.7.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + 2 (\frac{4 \sqrt{3}}{3})$

Étape 11.2.6.1.7.2

Associez $2$ et $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{2 (4 \sqrt{3})}{3}$

Étape 11.2.6.1.7.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Étape 11.2.6.2

Pour écrire $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 11.2.6.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.6.3.1

Multipliez $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 11.2.6.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 11.2.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 11.2.6.5

Pour écrire $\frac{8}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 11.2.6.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.2.6.6.1

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3}$

Étape 11.2.6.6.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3}$

Étape 11.2.6.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3}$

Étape 11.2.6.8

Pour écrire $- \frac{8}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 11.2.6.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.2.6.9.1

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Étape 11.2.6.9.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8 \cdot 3}{9}$

Étape 11.2.6.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{9}$

Étape 11.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.7.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{9}$

Étape 11.2.7.2

Multipliez $8$ par $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 24 - 8 \cdot 3}{9}$

Étape 11.2.7.3

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 24 - 24}{9}$

Étape 11.2.7.4

Additionnez $- 8 \sqrt{3}$ et $24 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3} + 24 - 24}{9}$

Étape 11.2.7.5

Soustrayez $24$ de $24$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3} + 0}{9}$

Étape 11.2.7.6

Additionnez $16 \sqrt{3}$ et $0$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Étape 11.2.8

La réponse finale est $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

$- 6 \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 13.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 13.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 2 \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 13.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 2 (- 2 \sqrt{3})$

Étape 13.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$4 \sqrt{3}$

Étape 14

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.2

Multipliez $\frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Étape 15.2.2.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ par $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.2.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.2.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.3

Multipliez $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2$ .

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Étape 15.2.3.1

Associez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ et $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 15.2.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.4.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.4.1.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{12}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.4.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

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Étape 15.2.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 (4)}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Étape 15.2.5

Développez $(- \frac{4}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$

Étape 15.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$

Étape 15.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.6.1.1

Multipliez $- \frac{4}{3} (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Étape 15.2.6.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{4}{3}) \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.1.2

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.1.3

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4 (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.1.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{3 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.1.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.2

Multipliez $- \frac{4}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 15.2.6.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + 2 (\frac{4}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.2.2

Associez $2$ et $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{2 \cdot 4}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.3

Multipliez $\frac{4 \sqrt{3}}{3} (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Étape 15.2.6.1.3.1

Multipliez $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ par $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{4 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.3.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.3.7

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 15.2.6.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.6.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.5

Multipliez $8$ par $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{24}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.6

Annulez le facteur commun à $24$ et $9$ .

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Étape 15.2.6.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 (8)}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.6.1.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Étape 15.2.6.1.7

Multipliez $\frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$ .

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Étape 15.2.6.1.7.1

Associez $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ et $- 2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot - 2}{3}$

Étape 15.2.6.1.7.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{- 8 \sqrt{3}}{3}$

Étape 15.2.6.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Étape 15.2.6.2

Pour écrire $- \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 15.2.6.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.2.6.3.1

Multipliez $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 15.2.6.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 15.2.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 15.2.6.5

Pour écrire $\frac{8}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Étape 15.2.6.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.2.6.6.1

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3}$

Étape 15.2.6.6.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3}$

Étape 15.2.6.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3}$

Étape 15.2.6.8

Pour écrire $- \frac{8}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 15.2.6.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.2.6.9.1

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Étape 15.2.6.9.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8 \cdot 3}{9}$

Étape 15.2.6.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{9}$

Étape 15.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.7.1

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{9}$

Étape 15.2.7.2

Multipliez $8$ par $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 24 - 8 \cdot 3}{9}$

Étape 15.2.7.3

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 24 - 24}{9}$

Étape 15.2.7.4

Soustrayez $24 \sqrt{3}$ de $8 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3} + 24 - 24}{9}$

Étape 15.2.7.5

Soustrayez $24$ de $24$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3} + 0}{9}$

Étape 15.2.7.6

Additionnez $- 16 \sqrt{3}$ et $0$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{9}$

Étape 15.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Étape 15.2.9

La réponse finale est $- \frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - x (x + 2) (x - 2)$ .

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{16 \sqrt{3}}{9})$ est un maximum local

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{16 \sqrt{3}}{9})$ est un minimum local

Étape 17