Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{12 e^{6 x} - 9 e^{8 x}}{3 e^{3 x}}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $12 e^{6 x} - 9 e^{8 x}$ et $3$ .

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $12 e^{6 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x}) - 9 e^{8 x}}{3 e^{3 x}}]$

Étape 1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9 e^{8 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x}) + 3 (- 3 e^{8 x})}{3 e^{3 x}}]$

Étape 1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (4 e^{6 x}) + 3 (- 3 e^{8 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x})}{3 e^{3 x}}]$

Étape 1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 e^{3 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x})}{3 (e^{3 x})}]$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x})}{3 e^{3 x}}]$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}}{e^{3 x}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}$ et $g (x) = e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}] - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{3 x})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}] - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}] - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]$ .

$\frac{e^{3 x} (\frac{d}{d x} [4 e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 e^{6 x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ .

$\frac{e^{3 x} (4 \frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $6 x$ .

$\frac{e^{3 x} (4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{3 x} (4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $6 x$ .

$\frac{e^{3 x} (4 (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x} (4 e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 5.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 5.4

Multipliez $24$ par $1$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 5.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 e^{8 x}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{8 x}]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $8 x$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [8 x])) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [8 x])) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $8 x$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x])) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 3 e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 7.2

Multipliez $8$ par $- 3$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x} \cdot 1) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 7.4

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $3 x$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Étape 8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $3 x$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Étape 9

Différenciez.

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Étape 9.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Étape 9.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Étape 9.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

Étape 9.4

Multipliez $e^{3 x}$ par $1$ .

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x} - 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x}) + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x} - 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x}) + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) + (- 3 (4 e^{6 x}) - 3 (- 3 e^{8 x})) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{3 x} (24 e^{6 x}) + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{24 e^{3 x} e^{6 x} + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.4.1.2

Multipliez $e^{3 x}$ par $e^{6 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.4.1.2.1

Déplacez $e^{6 x}$ .

$\frac{24 (e^{6 x} e^{3 x}) + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{24 e^{6 x + 3 x} + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.4.1.2.3

Additionnez $6 x$ et $3 x$ .

$\frac{24 e^{9 x} + e^{3 x} (- 24 e^{8 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.4.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{3 x} e^{8 x} - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.4.1.4

Multipliez $e^{3 x}$ par $e^{8 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.4.1.4.1

Déplacez $e^{8 x}$ .

$\frac{24 e^{9 x} - 24 (e^{8 x} e^{3 x}) - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.4.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{8 x + 3 x} - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.4.1.4.3

Additionnez $8 x$ et $3 x$ .

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 3 (4 e^{6 x}) e^{3 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.4.1.5

Multipliez $e^{6 x}$ par $e^{3 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.4.1.5.1

Déplacez $e^{3 x}$ .

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 3 (4 (e^{3 x} e^{6 x})) - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.4.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 3 (4 e^{3 x + 6 x}) - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.4.1.5.3

Additionnez $3 x$ et $6 x$ .

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 3 (4 e^{9 x}) - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.4.1.6

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} - 3 (- 3 e^{8 x}) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.4.1.7

Multipliez $e^{8 x}$ par $e^{3 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.4.1.7.1

Déplacez $e^{3 x}$ .

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} - 3 (- 3 (e^{3 x} e^{8 x}))}{e^{6 x}}$

Étape 10.4.1.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} - 3 (- 3 e^{3 x + 8 x})}{e^{6 x}}$

Étape 10.4.1.7.3

Additionnez $3 x$ et $8 x$ .

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} - 3 (- 3 e^{11 x})}{e^{6 x}}$

Étape 10.4.1.8

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{24 e^{9 x} - 24 e^{11 x} - 12 e^{9 x} + 9 e^{11 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.4.2

Soustrayez $12 e^{9 x}$ de $24 e^{9 x}$ .

$\frac{12 e^{9 x} - 24 e^{11 x} + 9 e^{11 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.4.3

Additionnez $- 24 e^{11 x}$ et $9 e^{11 x}$ .

$\frac{12 e^{9 x} - 15 e^{11 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.5

Factorisez $3$ à partir de $12 e^{9 x} - 15 e^{11 x}$ .

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Étape 10.5.1

Factorisez $3$ à partir de $12 e^{9 x}$ .

$\frac{3 (4 e^{9 x}) - 15 e^{11 x}}{e^{6 x}}$

Étape 10.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 15 e^{11 x}$ .

$\frac{3 (4 e^{9 x}) + 3 (- 5 e^{11 x})}{e^{6 x}}$

Étape 10.5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (4 e^{9 x}) + 3 (- 5 e^{11 x})$ .

$\frac{3 (4 e^{9 x} - 5 e^{11 x})}{e^{6 x}}$