Calcul infinitésimal Exemples

$\int (3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2})) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Étape 4

Laissez $u_{2} = \sec (6 x)$ . Alors $d u_{2} = 6 \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ , donc $\frac{1}{6} d u_{2} = \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = \sec (6 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\sec (6 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (6 x)]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $6 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 4.1.2.2

La dérivée de $\sec (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $6 x$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \cdot 1)$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.3.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) \cdot 6$

Étape 4.1.3.3.2

Déplacez $6$ à gauche de $\sec (6 x) \tan (6 x)$ .

$6 \sec (6 x) \tan (6 x)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$3 \int \frac{1}{6} d u_{2} + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Étape 6

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Étape 7

Laissez $u_{3} = 2 x^{2}$ . Alors $d u_{3} = 4 x d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{3} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{3} = 2 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Étape 7.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x)$

Étape 7.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $u_{2}$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

Étape 8.2

Associez $\csc^{2} (u_{3})$ et $\frac{1}{4}$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \frac{\csc^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

Étape 9

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 (\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3})$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 5$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) + \frac{- 5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

Étape 10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

Étape 11

Comme la dérivée de $- \cot (u_{3})$ est $\csc^{2} (u_{3})$ , l’intégrale de $\csc^{2} (u_{3})$ est $- \cot (u_{3})$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3}) + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

$\frac{u_{2}}{2} - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3})) + C$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{u_{2}}{2} + 1 (\frac{5}{4}) \cot (u_{3}) + C$

Étape 12.2.2

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $1$ .

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5}{4} \cot (u_{3}) + C$

Étape 12.2.3

Associez $\frac{5}{4}$ et $\cot (u_{3})$ .

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

Étape 13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (6 x)$ .

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

Étape 13.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 x^{2}$ .

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (2 x^{2})}{4} + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \sec (6 x) + \frac{5}{4} \cot (2 x^{2}) + C$