Calcul infinitésimal Exemples

$y' = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

Étape 2

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Séparez $\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Divisez la fraction $\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{2 x y}$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

Étape 2.1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

Étape 2.1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x}{2 y}$

Étape 2.2

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{y}{2 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{x}{2 y}$

Étape 2.2.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{2 y}$

Étape 2.3

Réécrivez l’équation différentielle comme $f (\frac{y}{x})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Factorisez $\frac{x}{y}$ dans $\frac{x}{2 y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Factorisez $\frac{x}{y}$ à partir de $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.3.1.2

Remettez dans l’ordre $\frac{x}{y}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{x}{y}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Étape 3

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Étape 4

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 5

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 6

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Étape 7

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Étape 7.1.1.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

Étape 7.1.1.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V}$

Étape 7.1.1.2

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$

Étape 7.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ par $x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 7.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 7.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 7.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.2

Pour écrire $- V$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.3.3.1

Associez $- V$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.3.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.3.3.3.1.1

Factorisez $V$ à partir de $V - V \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Factorisez $V$ à partir de $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Factorisez $V$ à partir de $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Factorisez $V$ à partir de $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.3.3.1.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.3.4.1

Pour écrire $- \frac{V}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.4.2

Multipliez $\frac{V}{2}$ par $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.4.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.3.3.4.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.4.4.2

Réécrivez $V \cdot V$ comme $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V^{2}}{2 V}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.4.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 7.1.1.3.3.6

Multipliez $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Étape 7.1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 7.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} (\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 7.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.4.1

Multipliez $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Étape 7.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2 V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.4.2.1

Factorisez $2 V$ à partir de $2 V x$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V (x)}$

Étape 7.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Étape 7.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Étape 7.1.4.3

Annulez le facteur commun de $(1 + V) (1 - V)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Étape 7.1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 7.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $V$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.2

Laissez $u = (1 + V) (1 - V)$ . Alors $d u = - 2 V d V$ , donc $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1

Laissez $u = (1 + V) (1 - V)$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1.1

Différenciez $(1 + V) (1 - V)$ .

$\frac{d}{d V} [(1 + V) (1 - V)]$

Étape 7.2.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ est $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ où $f (V) = 1 + V$ et $g (V) = 1 - V$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [1 - V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 7.2.2.2.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - V$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 7.2.2.2.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $1$ par rapport à $V$ est $0$ .

$(1 + V) (0 + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 7.2.2.2.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [- V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 7.2.2.2.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $- V$ par rapport à $V$ est $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$(1 + V) (- \frac{d}{d V} [V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 7.2.2.2.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + V) (- 1 \cdot 1) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 7.2.2.2.1.3.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(1 + V) \cdot - 1 + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 7.2.2.2.1.3.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $1 + V$ .

$- 1 \cdot (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 7.2.2.2.1.3.6.3

Réécrivez $- 1 (1 + V)$ comme $- (1 + V)$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Étape 7.2.2.2.1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + V$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V])$

Étape 7.2.2.2.1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $1$ par rapport à $V$ est $0$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (0 + \frac{d}{d V} [V])$

Étape 7.2.2.2.1.3.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [V]$

Étape 7.2.2.2.1.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \cdot 1$

Étape 7.2.2.2.1.3.11

Multipliez $1 - V$ par $1$ .

$- (1 + V) + 1 - V$

Étape 7.2.2.2.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 1 - V + 1 - V$

Étape 7.2.2.2.1.4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - V + 1 - V$

Étape 7.2.2.2.1.4.2.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$- V + 0 - V$

Étape 7.2.2.2.1.4.2.3

Additionnez $- V$ et $0$ .

$- V - V$

Étape 7.2.2.2.1.4.2.4

Soustrayez $V$ de $- V$ .

$- 2 V$

Étape 7.2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.7.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.7.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.9

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.2.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(1 + V) (1 - V)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 7.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) = \ln (| x |) + C$

Étape 7.3

Résolvez $V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \ln (| (1 + | x |) (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Développez $(1 + | x |) (1 - | x |)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \ln (| 1 (1 - | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 7.3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 7.3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \ln (| 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 7.3.2.2.1.2

Multipliez $- | x |$ par $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 7.3.2.2.1.3

Multipliez $| x |$ par $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 7.3.2.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - | x | | x | |) - \ln (| x |) = C$

Étape 7.3.2.2.1.5

Multipliez $| x |$ par $| x |$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.5.1

Déplacez $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - (| x | | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Étape 7.3.2.2.1.5.2

Multipliez $| x |$ par $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Étape 7.3.2.2.2

Additionnez $- | x |$ et $| x |$ .

$- \ln (| 1 + 0 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Étape 7.3.2.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \ln (| 1 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Étape 7.3.3

Ajoutez $\ln (| x |)$ aux deux côtés de l’équation.

$- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$

Étape 7.3.4

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.4.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - V^{2} |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 7.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| 1 - V^{2} |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 7.3.4.2.2

Divisez $\ln (| 1 - V^{2} |)$ par $1$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 7.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 7.3.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Étape 7.3.4.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Étape 7.3.4.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (| x |)$ comme $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - \ln (| x |)$

Étape 7.3.5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 - V^{2} |) + \ln (| x |) = - C$

Étape 7.3.6

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} | | x |) = - C$

Étape 7.3.7

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| (1 - V^{2}) x |) = - C$

Étape 7.3.8

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 x - V^{2} x |) = - C$

Étape 7.3.9

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (| x - V^{2} x |) = - C$

Étape 7.3.10

Pour résoudre $V$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| x - V^{2} x |)} = e^{- C}$

Étape 7.3.11

Réécrivez $\ln (| x - V^{2} x |) = - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | x - V^{2} x |$

Étape 7.3.12

Résolvez $V$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.12.1

Réécrivez l’équation comme $| x - V^{2} x | = e^{- C}$ .

$| x - V^{2} x | = e^{- C}$

Étape 7.3.12.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x - V^{2} x = \pm e^{- C}$

Étape 7.3.12.3

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$

Étape 7.3.12.4

Divisez chaque terme dans $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ par $- x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.12.4.1

Divisez chaque terme dans $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ par $- x$ .

$\frac{- V^{2} x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Étape 7.3.12.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.12.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Étape 7.3.12.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.12.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Étape 7.3.12.4.2.2.2

Divisez $V^{2}$ par $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Étape 7.3.12.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.12.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.12.4.3.1.1

Simplifiez $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

Étape 7.3.12.4.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Étape 7.3.12.4.3.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.12.4.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Étape 7.3.12.4.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

Étape 7.3.12.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$

Étape 7.3.12.6

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.12.6.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}}$

Étape 7.3.12.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$

Étape 7.3.12.6.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$ comme $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$

Étape 7.3.12.6.4

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Étape 7.3.12.6.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.12.6.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Étape 7.3.12.6.5.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Étape 7.3.12.6.5.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Étape 7.3.12.6.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.12.6.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 7.3.12.6.5.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.12.6.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.12.6.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.12.6.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.12.6.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.12.6.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.12.6.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Étape 7.3.12.6.5.6.5

Simplifiez

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x}$

Étape 7.3.12.6.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$

Étape 7.3.12.6.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{- C} + x)}}{x}$

Étape 7.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Étape 8

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Étape 9

Résolvez $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$ pour $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Étape 9.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$