Calcul infinitésimal Exemples

$| 2 x + 1 |$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = 2 x + 1$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$\frac{2 x + 1}{| 2 x + 1 |} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 x + 1}{| 2 x + 1 |} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x + 1}{| 2 x + 1 |} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 x + 1}{| 2 x + 1 |} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 x + 1}{| 2 x + 1 |} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 x + 1}{| 2 x + 1 |} (2 + 0)$

Étape 2.6

Associez les fractions.

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Étape 2.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2 x + 1}{| 2 x + 1 |} \cdot 2$

Étape 2.6.2

Associez $\frac{2 x + 1}{| 2 x + 1 |}$ et $2$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 2}{| 2 x + 1 |}$

Étape 2.6.3

Déplacez $2$ à gauche de $2 x + 1$ .

$\frac{2 \cdot (2 x + 1)}{| 2 x + 1 |}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x) + 2 \cdot 1}{| 2 x + 1 |}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 x + 2 \cdot 1}{| 2 x + 1 |}$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{4 x + 2}{| 2 x + 1 |}$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $4 x + 2$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) + 2}{| 2 x + 1 |}$

Étape 3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (1)}{| 2 x + 1 |}$

Étape 3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{| 2 x + 1 |}$