Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (4 - 2 x) - 1}{\ln (2 x - 3)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Étape 1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{x \to 2} 4 - 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Étape 1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Étape 1.2.1.4

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\cos (4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Étape 1.2.1.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\cos (4 - (2 lim_{x \to 2} x)) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Étape 1.2.1.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{\cos (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{\cos (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Multipliez $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 1.2.3.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\cos (4 - 2 \cdot 2) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Étape 1.2.3.1.1.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{\cos (4 - 4) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Étape 1.2.3.1.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Étape 1.2.3.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Étape 1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} 2 x - 3)}$

Étape 1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3)}$

Étape 1.3.1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\ln (2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3)}$

Étape 1.3.1.4

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{\ln (2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{\ln (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0}{\ln (4 - 1 \cdot 3)}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{0}{\ln (4 - 3)}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Étape 1.3.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (4 - 2 x) - 1}{\ln (2 x - 3)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (4 - 2 x) - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)]$ .

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Étape 3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 4 - 2 x$ .

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Étape 3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Étape 3.3.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Étape 3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Étape 3.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Étape 3.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Étape 3.3.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Étape 3.3.7

Soustrayez $2$ de $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x) + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Étape 3.5

Additionnez $2 \sin (4 - 2 x)$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x - 3$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Étape 3.6.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Étape 3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Étape 3.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Étape 3.11

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 + 0)}$

Étape 3.12

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} \cdot 2}$

Étape 3.13

Associez $\frac{1}{2 x - 3}$ et $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{2}{2 x - 3}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 2} 2 \sin (4 - 2 x) \frac{2 x - 3}{2}$

Étape 5

Combinez les facteurs.

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Étape 5.1

Associez $\frac{2 x - 3}{2}$ et $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2}{2} \sin (4 - 2 x)$

Étape 5.2

Associez $\frac{(2 x - 3) \cdot 2}{2}$ et $\sin (4 - 2 x)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 \sin (4 - 2 x)}{2}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 \sin (4 - 2 x)}{2}$

Étape 6.2

Divisez $(2 x - 3) \sin (4 - 2 x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} (2 x - 3) \sin (4 - 2 x)$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$lim_{x \to 2} 2 x - 3 \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$(lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Étape 9

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Étape 10

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Étape 11

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (lim_{x \to 2} 4 - 2 x)$

Étape 12

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x)$

Étape 13

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - lim_{x \to 2} 2 x)$

Étape 14

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)$

Étape 15

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 15.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)$

Étape 15.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Étape 16

Simplifiez la réponse.

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Étape 16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$(4 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Étape 16.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$(4 - 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Étape 16.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$1 \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Étape 16.3

Multipliez $\sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$ par $1$ .

$\sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Étape 16.4

Multipliez $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 16.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sin (4 - 2 \cdot 2)$

Étape 16.4.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\sin (4 - 4)$

Étape 16.5

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\sin (0)$

Étape 16.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0$