Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{\ln (2 e^{t} - 1)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (t)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Étape 1.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \ln (2 e^{t} - 1)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1)}$

Étape 1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Étape 1.3.1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{0}{\ln (2 lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Étape 1.3.1.4

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{\ln (2 e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1)}$

Étape 1.3.1.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\ln (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0}{\ln (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1 \cdot 1)}$

Étape 1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1)}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Étape 1.3.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{\ln (2 e^{t} - 1)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $\cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d t} [\ln (2 e^{t} - 1)]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = 2 e^{t} - 1$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 e^{t} - 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 e^{t} - 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} \frac{d}{d t} [2 e^{t} - 1]}$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{t} - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (\frac{d}{d t} [2 e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Étape 3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 e^{t}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ est $a^{t} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1])}$

Étape 3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t} + 0)}$

Étape 3.8

Additionnez $2 e^{t}$ et $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{1}{2 e^{t} - 1} (2 e^{t})}$

Étape 3.9

Associez $2$ et $\frac{1}{2 e^{t} - 1}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{2}{2 e^{t} - 1} e^{t}}$

Étape 3.10

Associez $\frac{2}{2 e^{t} - 1}$ et $e^{t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t)}{\frac{2 e^{t}}{2 e^{t} - 1}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{t \to 0} \cos (t) \frac{2 e^{t} - 1}{2 e^{t}}$

Étape 5

Associez $\cos (t)$ et $\frac{2 e^{t} - 1}{2 e^{t}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (t) (2 e^{t} - 1)}{2 e^{t}}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{\cos (t) (2 e^{t} - 1)}{e^{t}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t) (2 e^{t} - 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \cos (t) \cdot lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Étape 9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot lim_{t \to 0} 2 e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (lim_{t \to 0} 2 e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Étape 11

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Étape 12

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Étape 13

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{lim_{t \to 0} e^{t}}$

Étape 14

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{t \to 0} t) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Étape 15

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 15.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Étape 15.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{e^{lim_{t \to 0} t}}$

Étape 15.3

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{e^{0}}$

Étape 16

Simplifiez la réponse.

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Étape 16.1

Associez.

$\frac{1 (\cos (0) \cdot (2 e^{0} - 1 \cdot 1))}{2 e^{0}}$

Étape 16.2

Multipliez $\cos (0)$ par $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{2 e^{0}}$

Étape 16.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 e^{0} - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 16.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.4.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 16.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 - 1 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 16.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cos (0) (2 - 1)}{2 \cdot 1}$

Étape 16.4.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{\cos (0) \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Étape 16.4.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Étape 16.4.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 16.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$