Calcul infinitésimal Exemples

$x y' - 2 y = 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$x \frac{d y}{d x} - 2 y = 2$

Étape 2

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$

Étape 2.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$ par $x$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = 2 + 2 y$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

Étape 2.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + \frac{2 y}{x}$

Étape 2.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + 2 y}{x}$

Étape 2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 + 2 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1 + 2 y}{x}$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot (1 + y)}{x}$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $2$ par $1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1 + y)}{x}$

Étape 2.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{2 (1 + y)}{x}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun de $1 + y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Factorisez $1 + y$ à partir de $2 (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{(1 + y) \cdot 2}{x}$

Étape 2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y} \cdot \frac{(1 + y) \cdot 2}{x}$

Étape 2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$

Étape 2.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{2}{x} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 3.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Laissez $u = 1 + y$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Laissez $u = 1 + y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Différenciez $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Étape 3.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.2.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 3.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 3.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 3.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 3.3.3

Simplifiez

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = 2 \ln (| x |) + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 + y |) - 2 \ln (| x |) = C$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez $\ln (| 1 + y |) - 2 \ln (| x |)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| 1 + y |) - \ln ({| x |}^{2}) = C$

Étape 4.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| 1 + y |) - \ln (x^{2}) = C$

Étape 4.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}}) = C$

Étape 4.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}})} = e^{C}$

Étape 4.4

Réécrivez $\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| 1 + y |}{x^{2}}$

Étape 4.5

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| 1 + y |}{x^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} = e^{C}$

Étape 4.5.2

Multipliez les deux côtés par $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

Étape 4.5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 1 + y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

Étape 4.5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$| 1 + y | = e^{C} x^{2}$

Étape 4.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} x^{2}$ .

$| 1 + y | = x^{2} e^{C}$

Étape 4.5.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.4.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + y = \pm x^{2} e^{C}$

Étape 4.5.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm x^{2} e^{C} - 1$

Étape 5

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm x^{2} C - 1$

Étape 5.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C x^{2} - 1$