Calcul infinitésimal Exemples

$- 2 x^{3} + y^{3} + x = 5$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- 2 x^{3} + y^{3} + x) = \frac{d}{d x} (5)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{3} + y^{3} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 6 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- 6 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 6 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 x^{2} + 3 y^{2} y' + 1$

Étape 3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 6 x^{2} + 3 y^{2} y' + 1 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Ajoutez $6 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' + 1 = 6 x^{2}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' = 6 x^{2} - 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' = 6 x^{2} - 1$ par $3 y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' = 6 x^{2} - 1$ par $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{6 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{- 1}{3 y^{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{6 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{- 1}{3 y^{2}}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{6 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{- 1}{3 y^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{6 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{- 1}{3 y^{2}}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{- 1}{3 y^{2}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (2 x^{2})}{3 y^{2}} + \frac{- 1}{3 y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (2 x^{2})}{3 (y^{2})} + \frac{- 1}{3 y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (2 x^{2})}{3 y^{2}} + \frac{- 1}{3 y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 x^{2}}{y^{2}} + \frac{- 1}{3 y^{2}}$

Étape 5.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 x^{2}}{y^{2}} - \frac{1}{3 y^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2}}{y^{2}} - \frac{1}{3 y^{2}}$