Calcul infinitésimal Exemples

$x^{5} e^{- 3 \ln (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = e^{- 3 \ln (x)}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{- 3 \ln (x)}] + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 3 \ln (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 3 \ln (x)$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 3 \ln (x)$ .

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)])) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- 3 \frac{1}{x})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} \frac{- 3}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 5.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{5} (e^{- 3 \ln (x)} (- \frac{3}{x})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 5.2.2

Associez $e^{- 3 \ln (x)}$ et $\frac{3}{x}$ .

$x^{5} (- \frac{e^{- 3 \ln (x)} \cdot 3}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 5.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $e^{- 3 \ln (x)}$ .

$x^{5} (- \frac{3 \cdot e^{- 3 \ln (x)}}{x}) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 5.2.4

Associez $x^{5}$ et $\frac{3 e^{- 3 \ln (x)}}{x}$ .

$- \frac{x^{5} (3 e^{- 3 \ln (x)})}{x} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x$ .

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Étape 5.2.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} (3 e^{- 3 \ln (x)})$ .

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 5.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x^{1}} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 5.2.5.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 5.2.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 5.2.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})}{1} + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 5.2.5.2.5

Divisez $x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})$ par $1$ .

$- (x^{4} (3 e^{- 3 \ln (x)})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 5.2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 (x^{4} (e^{- 3 \ln (x)})) + e^{- 3 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)} + e^{- 3 \ln (x)} (5 x^{4})$

Étape 6

Additionnez $- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ et $e^{- 3 \ln (x)} (5 x^{4})$ .

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Étape 6.1

Déplacez $e^{- 3 \ln (x)}$ .

$- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)} + 5 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$

Étape 6.2

Additionnez $- 3 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ et $5 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$ .

$2 x^{4} e^{- 3 \ln (x)}$