Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - \frac{3}{3}}{3 x}$

Étape 1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - \frac{3}{3}}{3 x}$

Étape 1.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1 \cdot 1}{3 x}$

Étape 1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1}{3 x}$

Étape 2

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1}{x}$

Étape 3

Associez des termes.

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Étape 3.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1 \cdot \frac{x + 3}{x + 3}}{x}$

Étape 3.2

Associez $- 1$ et $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} + \frac{- (x + 3)}{x + 3}}{x}$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 - (x + 3)}{x + 3}}{x}$

Étape 4

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{x + 3} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3 - (x + 3)}{x + 3}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{(x + 3) x}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 - (x + 3)}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Étape 5.1.2

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1.2.1

Évaluez la limite de $3 - (x + 3)$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - (0 + 3)}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Étape 5.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Étape 5.1.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Étape 5.1.2.3

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x + 3 \cdot lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.3.3

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x + 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0 + 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0 + 3) \cdot 0}$

Étape 5.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.3.5.1

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{3 \cdot 0}$

Étape 5.1.3.5.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{(x + 3) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 - (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 - (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Étape 5.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - (x + 3)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Étape 5.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Étape 5.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (x + 3)]$ .

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Étape 5.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x + 3)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x + 3]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Étape 5.3.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Étape 5.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Étape 5.3.4.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Étape 5.3.4.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Étape 5.3.4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Étape 5.3.5

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Étape 5.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 3$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

Étape 5.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(x + 3) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

Étape 5.3.8

Multipliez $x + 3$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

Étape 5.3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}$

Étape 5.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (1 + \frac{d}{d x} [3])}$

Étape 5.3.11

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (1 + 0)}$

Étape 5.3.12

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x \cdot 1}$

Étape 5.3.13

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x}$

Étape 5.3.14

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 x + 3}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 3}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $- 1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 3}$

Étape 6.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 3}$

Étape 6.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3}$

Étape 6.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + 3}$

Étape 7

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + 3}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{0 + 3}$

Étape 8.1.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{3}$

Étape 8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$

Étape 8.3

Multipliez $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 8.3.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

Étape 8.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{1}{9}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{9}$

Forme décimale :

$- 0.\overline{1}$