Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{z \to 2} {(\frac{2 z + z^{2}}{z^{2} + 4})}^{3}$

Étape 1

Déplacez l’exposant $3$ de ${(\frac{2 z + z^{2}}{z^{2} + 4})}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{z \to 2} \frac{2 z + z^{2}}{z^{2} + 4})}^{3}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $z$ approche de $2$ .

${(\frac{lim_{z \to 2} 2 z + z^{2}}{lim_{z \to 2} z^{2} + 4})}^{3}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $z$ approche de $2$ .

${(\frac{lim_{z \to 2} 2 z + lim_{z \to 2} z^{2}}{lim_{z \to 2} z^{2} + 4})}^{3}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $z$ .

${(\frac{2 lim_{z \to 2} z + lim_{z \to 2} z^{2}}{lim_{z \to 2} z^{2} + 4})}^{3}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $z^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(\frac{2 lim_{z \to 2} z + {(lim_{z \to 2} z)}^{2}}{lim_{z \to 2} z^{2} + 4})}^{3}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $z$ approche de $2$ .

${(\frac{2 lim_{z \to 2} z + {(lim_{z \to 2} z)}^{2}}{lim_{z \to 2} z^{2} + lim_{z \to 2} 4})}^{3}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $z^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(\frac{2 lim_{z \to 2} z + {(lim_{z \to 2} z)}^{2}}{{(lim_{z \to 2} z)}^{2} + lim_{z \to 2} 4})}^{3}$

Étape 8

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $z$ approche de $2$ .

${(\frac{2 lim_{z \to 2} z + {(lim_{z \to 2} z)}^{2}}{{(lim_{z \to 2} z)}^{2} + 4})}^{3}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $z$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $z$ en insérant $2$ pour $z$ .

${(\frac{2 \cdot 2 + {(lim_{z \to 2} z)}^{2}}{{(lim_{z \to 2} z)}^{2} + 4})}^{3}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $z$ en insérant $2$ pour $z$ .

${(\frac{2 \cdot 2 + 2^{2}}{{(lim_{z \to 2} z)}^{2} + 4})}^{3}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $z$ en insérant $2$ pour $z$ .

${(\frac{2 \cdot 2 + 2^{2}}{2^{2} + 4})}^{3}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

${(\frac{4 + 2^{2}}{2^{2} + 4})}^{3}$

Étape 10.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

${(\frac{4 + 4}{2^{2} + 4})}^{3}$

Étape 10.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

${(\frac{8}{2^{2} + 4})}^{3}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

${(\frac{8}{4 + 4})}^{3}$

Étape 10.2.2

Additionnez $4$ et $4$ .

${(\frac{8}{8})}^{3}$

Étape 10.3

Divisez $8$ par $8$ .

$1^{3}$

Étape 10.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1$