Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{6} (x^{2} + x + 1) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{6} x^{2} + x + 1 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{6} x^{2} d x + \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} x d x + \int_{0}^{6} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6} + x]_{0}^{6}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6}$ et $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6} + x]_{0}^{6}$

Étape 6.1.2

Associez $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$ et $x]_{0}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x]_{0}^{6}$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x$ sur $6$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $216$ .

$\frac{216}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.3

Annulez le facteur commun à $216$ et $3$ .

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Étape 6.2.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{72}{1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.3.2.4

Divisez $72$ par $1$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.4

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 36 + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $36$ .

$72 + \frac{36}{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.6

Annulez le facteur commun à $36$ et $2$ .

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Étape 6.2.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$72 + \frac{18}{1} + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.6.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$72 + 18 + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.7

Additionnez $72$ et $18$ .

$90 + 6 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.8

Additionnez $90$ et $6$ .

$96 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$96 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.10

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$96 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Étape 6.2.2.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$96 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

Étape 6.2.2.12

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$96 - (0 + 0 + 0)$

Étape 6.2.2.13

Additionnez $0$ et $0$ .

$96 - (0 + 0)$

Étape 6.2.2.14

Additionnez $0$ et $0$ .

$96 - 0$

Étape 6.2.2.15

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$96 + 0$

Étape 6.2.2.16

Additionnez $96$ et $0$ .

$96$

Étape 7