Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} x^{2} + 3 x - 2 + \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x - 1}$

Étape 5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{x - 1}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - 1}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$0^{2} + 3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$0^{2} + 3 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$0^{2} + 3 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

Étape 9.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$0^{2} + 3 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + 2 \frac{0}{0 - 1 \cdot 1}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 3 \cdot 0 - 1 \cdot 2 + 2 \frac{0}{0 - 1 \cdot 1}$

Étape 10.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 + 0 - 1 \cdot 2 + 2 \frac{0}{0 - 1 \cdot 1}$

Étape 10.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 + 0 - 2 + 2 \frac{0}{0 - 1 \cdot 1}$

Étape 10.1.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + 0 - 2 + 2 \frac{0}{0 - 1}$

Étape 10.1.4.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$0 + 0 - 2 + 2 (\frac{0}{- 1})$

Étape 10.1.5

Divisez $0$ par $- 1$ .

$0 + 0 - 2 + 2 \cdot 0$

Étape 10.1.6

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + 0 - 2 + 0$

Étape 10.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 2 + 0$

Étape 10.3

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2 + 0$

Étape 10.4

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$- 2$