Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{\sqrt{8 - 2 x - x^{2}}} d x$

Étape 1

Réécrivez $8$ comme $9$ plus $- 1$

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 - 2 x - x^{2}}} d x$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} + 2 x + x^{2})}} d x$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 1$ et $b = x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 + x)}^{2}}} d x$

Étape 3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 + x)}^{2}}} d x$

Étape 4

Laissez $u = 1 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 4.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ par rapport à $u$ est $\arcsin (\frac{u}{3})$

$\arcsin (\frac{u}{3}) + C$

Étape 6

Réécrivez $\arcsin (\frac{u}{3}) + C$ comme $\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ .

$\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$\arcsin (\frac{1}{3} (1 + x)) + C$