Calcul infinitésimal Exemples

$4 x y - x^{2} - 2 = 2 y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (4 x y - x^{2} - 2) = \frac{d}{d x} (2 y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x y - x^{2} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x y$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x y' + y) - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 (x y' + y) - 2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (x y' + y) - 2 x + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x y') + 4 y - 2 x + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $4 x y' + 4 y - 2 x$ et $0$ .

$4 x y' + 4 y - 2 x$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 x y' - 2 x + 4 y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$4 x y' - 2 x + 4 y = 4 y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $4 y y'$ des deux côtés de l’équation.

$4 x y' - 2 x + 4 y - 4 y y' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x y' + 4 y - 4 y y' = 2 x$

Étape 5.2.2

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$4 x y' - 4 y y' = 2 x - 4 y$

Étape 5.3

Factorisez $4 y'$ à partir de $4 x y' - 4 y y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $4 y'$ à partir de $4 x y'$ .

$4 y' x - 4 y y' = 2 x - 4 y$

Étape 5.3.2

Factorisez $4 y'$ à partir de $- 4 y y'$ .

$4 y' x + 4 y' (- y) = 2 x - 4 y$

Étape 5.3.3

Factorisez $4 y'$ à partir de $4 y' x + 4 y' (- y)$ .

$4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$ par $4 (x - y)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$ par $4 (x - y)$ .

$\frac{4 y' (x - y)}{4 (x - y)} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y' (x - y)}{4 (x - y)} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x - y$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x)}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 (x - y)$ .

$y' = \frac{2 (x)}{2 (2 (x - y))} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Étape 5.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 x}{2 (2 (x - y))} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Étape 5.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

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Étape 5.4.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{4 (- y)}{4 (x - y)}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{4 (- y)}{4 (x - y)}$

Étape 5.4.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{- y}{x - y}$

Étape 5.4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y}{x - y}$

Étape 5.4.3.2

Pour écrire $- \frac{y}{x - y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y}{x - y} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.4.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (x - y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.4.3.3.1

Multipliez $\frac{y}{x - y}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y \cdot 2}{(x - y) \cdot 2}$

Étape 5.4.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x - y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y \cdot 2}{2 (x - y)}$

Étape 5.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{x - y \cdot 2}{2 (x - y)}$

Étape 5.4.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y' = \frac{x - 2 y}{2 (x - y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2 y}{2 (x - y)}$