Calcul infinitésimal Exemples

$3 y^{2} - y = - 2 x^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (3 y^{2} - y) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 y^{2} - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 y y' + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 y y' - \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 y y' - y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 (2 x)$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 y y' - y' = - 4 x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Factorisez $y'$ à partir de $6 y y' - y'$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $y'$ à partir de $6 y y'$ .

$y' (6 y) - y' = - 4 x$

Étape 5.1.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (6 y) + y' \cdot - 1 = - 4 x$

Étape 5.1.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (6 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (6 y - 1) = - 4 x$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $y' (6 y - 1) = - 4 x$ par $6 y - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $y' (6 y - 1) = - 4 x$ par $6 y - 1$ .

$\frac{y' (6 y - 1)}{6 y - 1} = \frac{- 4 x}{6 y - 1}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6 y - 1$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (6 y - 1)}{6 y - 1} = \frac{- 4 x}{6 y - 1}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{6 y - 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{4 x}{6 y - 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{6 y - 1}$