Calcul infinitésimal Exemples

$\int (2 x + 1) (2 x - 1) d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1) d x$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1) d x$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 1.4

Déplacez $x$ .

$\int 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 1.5

Déplacez $x$ .

$\int 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 1.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 4 (x^{1} x) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 1.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 1.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 1.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 1.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 1.12

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

Étape 1.13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1 d x$

Étape 1.14

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\int 4 x^{2} + 0 - 1 d x$

Étape 1.15

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\int 4 x^{2} - 1 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 x^{2} d x + \int - 1 d x$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 1 d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - x + C$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - x + C$

Étape 6.2

Simplifiez

$\frac{4 x^{3}}{3} - x + C$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{3} x^{3} - x + C$