Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} {(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}}$ comme $e^{\ln ({(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(x + e^{2 x})}^{\frac{1}{x}})$ en déplaçant $\frac{1}{x}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (x + e^{2 x})}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (x + e^{2 x})}$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{x}$ et $\ln (x + e^{2 x})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + e^{2 x})}{x}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + e^{2 x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{2 x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} e^{2 x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} 2 x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + e^{2 lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{\ln (0 + e^{2 lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{\ln (0 + e^{2 \cdot 0})}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.6.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$e^{\frac{\ln (0 + e^{0})}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.6.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$e^{\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.6.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.2.6.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + e^{2 x})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + e^{2 x})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + e^{2 x})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + e^{2 x}$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + e^{2 x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + e^{2 x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [x + e^{2 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{2 x} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{2 x} \cdot 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + e^{2 x} \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.9

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + 2 \cdot e^{2 x})}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.10

Simplifiez

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Étape 3.3.10.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x + e^{2 x}} (1 + 2 e^{2 x})$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2 e^{2 x}) \frac{1}{x + e^{2 x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.10.2

Multipliez $1 + 2 e^{2 x}$ par $\frac{1}{x + e^{2 x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 3.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}}}{1}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}} \cdot 1}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 e^{2 x}}{x + e^{2 x}}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1 + 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1 + lim_{x \to 0} 2 e^{2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Étape 4.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{1 + 2 lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Étape 4.5

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{\frac{1 + 2 e^{lim_{x \to 0} 2 x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Étape 4.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 x}}}$

Étape 4.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} e^{2 x}}}$

Étape 4.8

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{lim_{x \to 0} 2 x}}}$

Étape 4.9

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 lim_{x \to 0} x}}}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x + e^{2 lim_{x \to 0} x}}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0}}{0 + e^{2 lim_{x \to 0} x}}}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0}}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$e^{\frac{1 + 2 e^{0}}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

Étape 6.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$e^{\frac{1 + 2 \cdot 1}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

Étape 6.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{\frac{1 + 2}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

Étape 6.1.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$e^{\frac{3}{0 + e^{2 \cdot 0}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$e^{\frac{3}{0 + e^{0}}}$

Étape 6.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$e^{\frac{3}{0 + 1}}$

Étape 6.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$e^{\frac{3}{1}}$

Étape 6.3

Divisez $3$ par $1$ .

$e^{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e^{3}$

Forme décimale :

$20.08553692 \dots$