Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

Étape 1

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

Étape 2

Réécrivez $- 1 u^{3}$ comme $- u^{3}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - u^{3} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Étape 5

Associez $\frac{1}{4}$ et $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{u^{4}}{4}$ sur $\frac{1}{2}$ et sur $1$ .

$- ((\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 6.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- (\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4} - \frac{1}{4})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{4}$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{4}$

Étape 7.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{4}$

Étape 7.2.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$- \frac{\frac{1}{16} - 1}{4}$

Étape 7.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{4}$

Étape 7.4

Associez $- 1$ et $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{4}$

Étape 7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{4}$

Étape 7.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.6.1

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$- \frac{\frac{1 - 16}{16}}{4}$

Étape 7.6.2

Soustrayez $16$ de $1$ .

$- \frac{\frac{- 15}{16}}{4}$

Étape 7.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{- \frac{15}{16}}{4}$

Étape 7.8

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 7.9

Multipliez $- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 7.9.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{15}{16}$ .

$- - \frac{15}{4 \cdot 16}$

Étape 7.9.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$- - \frac{15}{64}$

Étape 7.10

Multipliez $- - \frac{15}{64}$ .

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Étape 7.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{15}{64})$

Étape 7.10.2

Multipliez $\frac{15}{64}$ par $1$ .

$\frac{15}{64}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{15}{64}$

Forme décimale :

$0.234375$