Calcul infinitésimal Exemples

$(12 x^{2} - 4 x) d x$

Étape 1

Écrivez $(12 x^{2} - 4 x) d x$ comme une fonction.

$f (x) = (12 x^{2} - 4 x) d x$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int (12 x^{2} - 4 x) d x d x$

Étape 4

Comme $d$ est constant par rapport à $x$ , placez $d$ en dehors de l’intégrale.

$d \int (12 x^{2} - 4 x) x d x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$d \int 12 x^{2} x - 4 x \cdot x d x$

Étape 5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$d \int 12 (x^{2} x^{1}) - 4 x \cdot x d x$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$d \int 12 x^{2 + 1} - 4 x \cdot x d x$

Étape 5.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$d \int 12 x^{3} - 4 x \cdot x d x$

Étape 5.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$d \int 12 x^{3} - 4 (x^{1} x) d x$

Étape 5.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$d \int 12 x^{3} - 4 (x^{1} x^{1}) d x$

Étape 5.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$d \int 12 x^{3} - 4 x^{1 + 1} d x$

Étape 5.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$d \int 12 x^{3} - 4 x^{2} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$d (\int 12 x^{3} d x + \int - 4 x^{2} d x)$

Étape 7

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$d (12 \int x^{3} d x + \int - 4 x^{2} d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$d (12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 4 x^{2} d x)$

Étape 9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$d (12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 \int x^{2} d x)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$d (12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

Étape 11

Simplifiez

$d (3 x^{4} - \frac{4 x^{3}}{3}) + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$d (3 x^{4} - \frac{4}{3} x^{3}) + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = (12 x^{2} - 4 x) d x$ .

$F (x) =$ $d (3 x^{4} - \frac{4}{3} x^{3}) + C$