Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 6}^{23} i^{2} - 2 i + 7$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $i$ égale à $1$ .

$\sum_{k = 6}^{23} i^{2} - 2 i + 7 = \sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 i + 7 - \sum_{k = 1}^{5} i^{2} - 2 i + 7$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 i + 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 i + 7 = \sum_{k = 1}^{23} i^{2} - 2 \sum_{k = 1}^{23} i + \sum_{k = 1}^{23} 7$

Étape 2.2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{23} i^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 2.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{23 (23 + 1) (2 \cdot 23 + 1)}{6}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1.1

Additionnez $23$ et $1$ .

$\frac{23 \cdot 24 (2 \cdot 23 + 1)}{6}$

Étape 2.2.3.1.2

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1.2.1

Multipliez $23$ par $24$ .

$\frac{552 (2 \cdot 23 + 1)}{6}$

Étape 2.2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $23$ .

$\frac{552 (46 + 1)}{6}$

Étape 2.2.3.1.3

Additionnez $46$ et $1$ .

$\frac{552 \cdot 47}{6}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $552$ par $47$ .

$\frac{25944}{6}$

Étape 2.2.3.2.2

Divisez $25944$ par $6$ .

$4324$

Étape 2.3

Évaluez $2 \sum_{k = 1}^{23} i$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 2.3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 2) (\frac{23 (23 + 1)}{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1

Additionnez $23$ et $1$ .

$- 2 \frac{23 \cdot 24}{2}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $23$ par $24$ .

$- 2 (\frac{552}{2})$

Étape 2.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{552}{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{552}{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 552$

Étape 2.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $552$ .

$- 552$

Étape 2.4

Évaluez $\sum_{k = 1}^{23} 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 2.4.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(7) (23)$

Étape 2.4.3

Multipliez $7$ par $23$ .

$161$

Étape 2.5

Additionnez les résultats des additions.

$4324 - 552 + 161$

Étape 2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Soustrayez $552$ de $4324$ .

$3772 + 161$

Étape 2.6.2

Additionnez $3772$ et $161$ .

$3933$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{5} i^{2} - 2 i + 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de $i$ .

$1^{2} - 2 \cdot 1 + 7 + 2^{2} - 2 \cdot 2 + 7 + 3^{2} - 2 \cdot 3 + 7 + \dots + 5^{2} - 2 \cdot 5 + 7$

Étape 3.2

Simplifiez la forme développée.

$60$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$3933 - 60$

Étape 5

Soustrayez $60$ de $3933$ .

$3873$