Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\infty} 2 x e^{x^{2}} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 2 x e^{x^{2}} d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{0}^{t} x e^{x^{2}} d x$

Étape 3

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Laissez $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Différenciez $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Étape 3.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Étape 3.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Étape 3.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Étape 3.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Étape 3.6

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{1}^{e^{t^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $u_{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Étape 5.2

Évaluez $\frac{u_{2}}{2}$ sur $e^{t^{2}}$ et sur $1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 6

Comme la fonction $\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$ approche de $\infty$ , la constante positive $2$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $2$ retiré.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 6.2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}} - 1}{2}$

Étape 6.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Étape 6.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Étape 6.3

Comme l’exposant $t^{2}$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{t^{2}}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Étape 6.4

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Étape 6.4.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{2}$

Étape 6.4.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\infty - 1}{2}$

Étape 6.4.3.1.2

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$\frac{\infty}{2}$

Étape 6.4.3.2

L’infini divisé par toute valeur finie et non nulle est l’infini.

$\infty$