Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{{(x - 3)}^{3}}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(x - 3)}^{3}$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 3$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 3$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 3$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - {(x - 3)}^{3} (2 x)}{x^{4}}$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - 2 {(x - 3)}^{3} x}{x^{4}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Factorisez $x {(x - 3)}^{2}$ à partir de $x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - 2 {(x - 3)}^{3} x$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $x {(x - 3)}^{2}$ à partir de $x^{2} (3 {(x - 3)}^{2})$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) - 2 {(x - 3)}^{3} x}{x^{4}}$

Étape 5.1.1.2

Factorisez $x {(x - 3)}^{2}$ à partir de $- 2 {(x - 3)}^{3} x$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x - 3)}^{2} (- 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Étape 5.1.1.3

Factorisez $x {(x - 3)}^{2}$ à partir de $x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x - 3)}^{2} (- 2 (x - 3))$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3) - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Étape 5.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 x - 2 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 x + 6)}{x^{4}}$

Étape 5.1.5

Soustrayez $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x + 6)}{x^{4}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x {(x - 3)}^{2} (x + 6)$ .

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x^{4}}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x - 3)}^{2} (x + 6)}{x^{3}}$