Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x^{2} + 5) (3 x + 1)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ((x^{2} + 5) (3 x + 1))$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x^{2} + 5$ et $g (y) = 3 x + 1$ .

$(x^{2} + 5) \frac{d}{d y} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(x^{2} + 5) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Étape 3.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$(x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$(x^{2} + 5) (3 x' + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 x' + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Étape 3.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.2.1

Additionnez $3 x'$ et $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 x') + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Étape 3.4.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2} + 5$ .

$3 \cdot (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Étape 3.4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Étape 3.6

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x' + \frac{d}{d y} [5])$

Étape 3.7

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5$ par rapport à $y$ est $0$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x' + 0)$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.8.1

Additionnez $2 x x'$ et $0$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x')$

Étape 3.8.2

Déplacez $2$ à gauche de $3 x + 1$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + 2 \cdot (3 x + 1) x x'$

Étape 3.9

Simplifiez

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Étape 3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$(3 x^{2} + 3 \cdot 5) x' + 2 (3 x + 1) x x'$

Étape 3.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + 2 (3 x + 1) x x'$

Étape 3.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + (2 (3 x) + 2 \cdot 1) x x'$

Étape 3.9.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + (2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x) x'$

Étape 3.9.5

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + 2 (3 x) x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Étape 3.9.6

Associez des termes.

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Étape 3.9.6.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 2 (3 x) x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Étape 3.9.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x \cdot x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Étape 3.9.6.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 (x^{1} x) x' + 2 \cdot 1 x x'$

Étape 3.9.6.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 (x^{1} x^{1}) x' + 2 \cdot 1 x x'$

Étape 3.9.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{1 + 1} x' + 2 \cdot 1 x x'$

Étape 3.9.6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{2} x' + 2 \cdot 1 x x'$

Étape 3.9.6.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{2} x' + 2 x x'$

Étape 3.9.6.8

Additionnez $3 x^{2} x'$ et $6 x^{2} x'$ .

$9 x^{2} x' + 15 x' + 2 x x'$

Étape 3.9.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x' = 1$ .

$9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x' = 1$

Étape 5.2

Factorisez $x'$ à partir de $9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x'$ à partir de $9 x^{2} x'$ .

$x' (9 x^{2}) + 2 x x' + 15 x' = 1$

Étape 5.2.2

Factorisez $x'$ à partir de $2 x x'$ .

$x' (9 x^{2}) + x' (2 x) + 15 x' = 1$

Étape 5.2.3

Factorisez $x'$ à partir de $15 x'$ .

$x' (9 x^{2}) + x' (2 x) + x' \cdot 15 = 1$

Étape 5.2.4

Factorisez $x'$ à partir de $x' (9 x^{2}) + x' (2 x)$ .

$x' (9 x^{2} + 2 x) + x' \cdot 15 = 1$

Étape 5.2.5

Factorisez $x'$ à partir de $x' (9 x^{2} + 2 x) + x' \cdot 15$ .

$x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$ par $9 x^{2} + 2 x + 15$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$ par $9 x^{2} + 2 x + 15$ .

$\frac{x' (9 x^{2} + 2 x + 15)}{9 x^{2} + 2 x + 15} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $9 x^{2} + 2 x + 15$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (9 x^{2} + 2 x + 15)}{9 x^{2} + 2 x + 15} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$