Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\tan (\ln (x^{2}))}{4 x} d x$

Étape 1

Réécrivez $\frac{\tan (\ln (x^{2}))}{4 x}$ comme $\frac{\tan (2 \ln (x))}{4 x}$ .

$\int \frac{\tan (2 \ln (x))}{4 x} d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{\tan (2 \ln (x))}{x} d x$

Étape 3

Laissez $u = 2 \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{2}{x} d x$ , donc $- d u = \frac{- 2}{x} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 2 \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $2 \ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

Étape 3.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.1.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 \frac{1}{x}$

Étape 3.1.4

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x}$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2} \tan (u) d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \tan (u) d u)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int \tan (u) d u$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{8} \int \tan (u) d u$

Étape 6

L’intégrale de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{1}{8} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Étape 7

Simplifiez

$\frac{1}{8} \ln (| \sec (u) |) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 \ln (x)$ .

$\frac{1}{8} \ln (| \sec (2 \ln (x)) |) + C$