Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{6} - x}{x^{3}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x^{6} - x}{x^{3}} d x$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Simplifiez

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{6} - x$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{6}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{5} - x}{x^{3}} d x$

Étape 3.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{5} + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Étape 3.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{5} + x \cdot - 1$ .

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x^{3}} d x$

Étape 3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{x^{5} - 1}{x^{2}} d x$

Étape 3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{5} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{5} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (x^{5} - 1) x^{- 2} d x$

Étape 4

Multipliez $(x^{5} - 1) x^{- 2}$ .

$\int x^{5} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $x^{5}$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{5 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 5.1.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$\int x^{3} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 5.2

Réécrivez $- 1 x^{- 2}$ comme $- x^{- 2}$ .

$\int x^{3} - x^{- 2} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{3} d x + \int - x^{- 2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x^{- 2} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x^{- 2} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (- x^{- 1} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{1}{4} x^{4} - - x^{- 1} + C$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + 1 x^{- 1} + C$

Étape 10.2.2

Multipliez $x^{- 1}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + x^{- 1} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x^{6} - x}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + x^{- 1} + C$