Calcul infinitésimal Exemples

$x - \sin (2 x)$

Étape 1

Écrivez $x - \sin (2 x)$ comme une fonction.

$f (x) = x - \sin (2 x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x - \sin (2 x) d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x d x + \int - \sin (2 x) d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \sin (2 x) d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \sin (2 x) d x$

Étape 7

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 8

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Étape 10

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Étape 11

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Étape 11.1

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$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

Étape 11.2

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u) + C$

Étape 11.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (u) + C$

Étape 11.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{\cos (u)}{2} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x - \sin (2 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$