Calcul infinitésimal Exemples

$(x - 1) \cdot e^{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = e^{x}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Étape 3.4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x e^{x} - 1 e^{x} + e^{x}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $- 1 e^{x}$ comme $- e^{x}$ .

$x e^{x} - e^{x} + e^{x}$

Étape 4.2.2

Additionnez $- e^{x}$ et $e^{x}$ .

$x e^{x} + 0$

Étape 4.2.3

Additionnez $x e^{x}$ et $0$ .

$x e^{x}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $x e^{x}$ .

$e^{x} x$

Étape 4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x$ .

$x e^{x}$