Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{2} \sqrt{1 + x^{2}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 9.3

Placez ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 9.4

Associez $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 12

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 14

Associez les fractions.

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Étape 14.1

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 14.2

Associez $\frac{2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{2} x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (x^{1} x^{2})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{1 + 2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 17

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 17.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{3}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 17.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{3}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 17.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 18

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Étape 19

Remettez dans l’ordre.

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Étape 19.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)$

Étape 19.2

Déplacez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 20

Pour écrire $2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 22.1

Déplacez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 22.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 23

Simplifiez $2 x {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24

Multipliez $\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 25

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 26

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 26.1

Déplacez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 26.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 26.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Étape 26.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 26.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Étape 27

Simplifiez $x^{2} {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} (x^{2} + 1)}$

Étape 28

Simplifiez

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Étape 28.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1}{x^{2} (x^{2} + 1)}$

Étape 28.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

Étape 28.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 28.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 28.3.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 28.3.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot 1}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

Étape 28.3.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 28.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 1}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

Étape 28.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 1}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

Étape 28.3.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{3} + 2 x \cdot 1}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

Étape 28.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{3} + 2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

Étape 28.3.2

Additionnez $x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} + 2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

Étape 28.4

Associez des termes.

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Étape 28.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 28.4.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{3} + 2 x}{x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1}$

Étape 28.4.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{3 x^{3} + 2 x}{x^{4} + x^{2} \cdot 1}$

Étape 28.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 2 x}{x^{4} + x^{2}}$

Étape 28.5

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{3} + 2 x$ .

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Étape 28.5.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{3}$ .

$\frac{x (3 x^{2}) + 2 x}{x^{4} + x^{2}}$

Étape 28.5.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4} + x^{2}}$

Étape 28.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x^{2}) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x^{4} + x^{2}}$

Étape 28.6

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} + x^{2}$ .

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Étape 28.6.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x^{2} x^{2} + x^{2}}$

Étape 28.6.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

Étape 28.6.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x^{2} (x^{2} + 1)}$

Étape 28.7

Annulez les facteurs communs.

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Étape 28.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (x^{2} + 1)$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x (x (x^{2} + 1))}$

Étape 28.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x (x (x^{2} + 1))}$

Étape 28.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{2} + 2}{x (x^{2} + 1)}$