Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} + 5 x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} {(x + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x + 5)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 5$ .

$\frac{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 5$ .

$\frac{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 5$ pour $x$ .

$\frac{{(- 5 + 5)}^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Étape 1.1.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + 5 x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x^{2} + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5 x}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x)}^{2} + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5 x}$

Étape 1.1.3.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x)}^{2} + 5 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $- 5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 5$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 5)}^{2} + 5 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x}$

Étape 1.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 5$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 5)}^{2} + 5 \cdot - 5}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.5.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{25 + 5 \cdot - 5}$

Étape 1.1.3.5.1.2

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$\frac{0}{25 - 25}$

Étape 1.1.3.5.2

Soustrayez $25$ de $25$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{{(x + 5)}^{2}}{x^{2} + 5 x} = lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Étape 1.3.2

Réécrivez ${(x + 5)}^{2}$ comme $(x + 5) (x + 5)$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 5) (x + 5)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Étape 1.3.3

Développez $(x + 5) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x + 5) + 5 (x + 5)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Étape 1.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Étape 1.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Étape 1.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Étape 1.3.4.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Étape 1.3.4.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 5 x + 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Étape 1.3.4.2

Additionnez $5 x$ et $5 x$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Étape 1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 10 x + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Étape 1.3.7

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Étape 1.3.9

Multipliez $10$ par $1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 + \frac{d}{d x} [25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Étape 1.3.10

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Étape 1.3.11

Additionnez $2 x + 10$ et $0$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]}$

Étape 1.3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]}$

Étape 1.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + \frac{d}{d x} [5 x]}$

Étape 1.3.14

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 1.3.14.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.14.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + 5 \cdot 1}$

Étape 1.3.14.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to {(- 5)}^{+}} \frac{2 x + 10}{2 x + 5}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 5$ .

$\frac{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

Étape 2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $10$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + 5}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 2 x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + lim_{x \to {(- 5)}^{+}} 5}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 5$ .

$\frac{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 10}{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $- 5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 5$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot - 5 + 10}{2 lim_{x \to {(- 5)}^{+}} x + 5}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 5$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot - 5 + 10}{2 \cdot - 5 + 5}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $2 \cdot - 5 + 10$ et $2 \cdot - 5 + 5$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $5$ à partir de $2 \cdot - 5$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1) + 10}{2 \cdot - 5 + 5}$

Étape 4.1.2

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1) + 5 \cdot 2}{2 \cdot - 5 + 5}$

Étape 4.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (2 \cdot - 1) + 5 (2)$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{2 \cdot - 5 + 5}$

Étape 4.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $2 \cdot - 5$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1) + 5}$

Étape 4.1.4.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1) + 5 (1)}$

Étape 4.1.4.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (2 \cdot - 1) + 5 (1)$ .

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1 + 1)}$

Étape 4.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (2 \cdot - 1 + 2)}{5 (2 \cdot - 1 + 1)}$

Étape 4.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot - 1 + 2}{2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 + 2}{2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot - 1 + 1}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{0}{- 2 + 1}$

Étape 4.3.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{0}{- 1}$

Étape 4.4

Divisez $0$ par $- 1$ .

$0$