Calcul infinitésimal Exemples

$y - y^{2} + x + x^{2} = - 2 y^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y - y^{2} + x + x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - y^{2} + x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y' - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$y' - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y' - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$y' - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y' - (2 y y') + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y' - 2 y y' + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y' - 2 y y' + 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y' - 2 y y' + 1 + 2 x$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 6 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 6 y^{2} y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1 = - 6 y^{2} y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $6 y^{2} y'$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 y y' + 2 x + y' + 1 + 6 y^{2} y' = 0$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y y' + y' + 1 + 6 y^{2} y' = - 2 x$

Étape 5.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y y' + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y y' + y' + 6 y^{2} y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Étape 5.3.2

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' (- 2 y) + y' + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' (- 2 y) + y' \cdot 1 + 6 y^{2} y' = - 2 x - 1$

Étape 5.3.4

Factorisez $y'$ à partir de $6 y^{2} y'$ .

$y' (- 2 y) + y' \cdot 1 + y' (6 y^{2}) = - 2 x - 1$

Étape 5.3.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 2 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 2 y + 1) + y' (6 y^{2}) = - 2 x - 1$

Étape 5.3.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 2 y + 1) + y' (6 y^{2})$ .

$y' (- 2 y + 1 + 6 y^{2}) = - 2 x - 1$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$ par $6 y^{2} - 2 y + 1$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (6 y^{2} - 2 y + 1) = - 2 x - 1$ par $6 y^{2} - 2 y + 1$ .

$\frac{y' (6 y^{2} - 2 y + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $6 y^{2} - 2 y + 1$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (6 y^{2} - 2 y + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1} = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{6 y^{2} - 2 y + 1} + \frac{- 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 x - 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Étape 5.5.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Étape 5.5.3.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Étape 5.5.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Étape 5.5.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.3.5.1

Réécrivez $- (2 x + 1)$ comme $- 1 (2 x + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 1)}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Étape 5.5.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x + 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 1}{6 y^{2} - 2 y + 1}$