Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{4} (3 - | x - 3 |) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{4} 3 - | x - 3 | d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{4} 3 d x + \int_{1}^{4} - | x - 3 | d x$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$3 x]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - | x - 3 | d x$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 x]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} | x - 3 | d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale selon là où $x - 3$ est positif et négatif.

$3 x]_{1}^{4} - (\int_{1}^{3} - x + 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$3 x]_{1}^{4} - (\int_{1}^{3} - x d x + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 x]_{1}^{4} - (- \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 3 d x + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \int_{3}^{4} x - 3 d x)$

Étape 11

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \int_{3}^{4} x d x + \int_{3}^{4} - 3 d x)$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{4} + \int_{3}^{4} - 3 d x)$

Étape 13

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2}]_{3}^{4} + \int_{3}^{4} - 3 d x)$

Étape 14

Appliquez la règle de la constante.

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2}]_{3}^{4} + - 3 x]_{3}^{4})$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Associez $\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{4}$ et $- 3 x]_{3}^{4}$ .

$3 x]_{1}^{4} - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

Étape 15.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 15.2.1

Évaluez $3 x$ sur $4$ et sur $1$ .

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

Étape 15.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $1$ .

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 3 x]_{1}^{3} + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

Étape 15.2.3

Évaluez $3 x$ sur $3$ et sur $1$ .

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + \frac{x^{2}}{2} - 3 x]_{3}^{4})$

Étape 15.2.4

Évaluez $\frac{x^{2}}{2} - 3 x$ sur $4$ et sur $3$ .

$(3 \cdot 4) - 3 \cdot 1 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5

Simplifiez

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Étape 15.2.5.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 - 3 \cdot 1 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$12 - 3 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.3

Soustrayez $3$ de $12$ .

$9 - (- (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 - (- (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$9 - (- (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 - (- \frac{9 - 1}{2} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.7

Soustrayez $1$ de $9$ .

$9 - (- \frac{8}{2} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.8

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 15.2.5.8.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$9 - (- \frac{2 \cdot 4}{2} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.5.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$9 - (- \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 - (- \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$9 - (- \frac{4}{1} + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.8.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$9 - (- 1 \cdot 4 + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.9

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$9 - (- 4 + 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.10

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 - (- 4 + 9 - 3 \cdot 1 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.11

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$9 - (- 4 + 9 - 3 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.12

Soustrayez $3$ de $9$ .

$9 - (- 4 + 6 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.13

Additionnez $- 4$ et $6$ .

$9 - (2 + (\frac{4^{2}}{2} - 3 \cdot 4) - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.14

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$9 - (2 + \frac{16}{2} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.15

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 15.2.5.15.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$9 - (2 + \frac{2 \cdot 8}{2} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.5.15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$9 - (2 + \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 - (2 + \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$9 - (2 + \frac{8}{1} - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.15.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$9 - (2 + 8 - 3 \cdot 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.16

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$9 - (2 + 8 - 12 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.17

Soustrayez $12$ de $8$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{3^{2}}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.18

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} - 3 \cdot 3))$

Étape 15.2.5.19

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} - 9))$

Étape 15.2.5.20

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}))$

Étape 15.2.5.21

Associez $- 9$ et $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 - 4 - (\frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}))$

Étape 15.2.5.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 - (2 - 4 - \frac{9 - 9 \cdot 2}{2})$

Étape 15.2.5.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.5.23.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$9 - (2 - 4 - \frac{9 - 18}{2})$

Étape 15.2.5.23.2

Soustrayez $18$ de $9$ .

$9 - (2 - 4 - \frac{- 9}{2})$

Étape 15.2.5.24

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 - (2 - 4 - - \frac{9}{2})$

Étape 15.2.5.25

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$9 - (2 - 4 + 1 (\frac{9}{2}))$

Étape 15.2.5.26

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $1$ .

$9 - (2 - 4 + \frac{9}{2})$

Étape 15.2.5.27

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 - 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})$

Étape 15.2.5.28

Associez $- 4$ et $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 + \frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})$

Étape 15.2.5.29

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 - (2 + \frac{- 4 \cdot 2 + 9}{2})$

Étape 15.2.5.30

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.5.30.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$9 - (2 + \frac{- 8 + 9}{2})$

Étape 15.2.5.30.2

Additionnez $- 8$ et $9$ .

$9 - (2 + \frac{1}{2})$

Étape 15.2.5.31

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$9 - (2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Étape 15.2.5.32

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$9 - (\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})$

Étape 15.2.5.33

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 - \frac{2 \cdot 2 + 1}{2}$

Étape 15.2.5.34

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.5.34.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$9 - \frac{4 + 1}{2}$

Étape 15.2.5.34.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$9 - \frac{5}{2}$

Étape 15.2.5.35

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 15.2.5.36

Associez $9$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 15.2.5.37

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 \cdot 2 - 5}{2}$

Étape 15.2.5.38

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.5.38.1

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{18 - 5}{2}$

Étape 15.2.5.38.2

Soustrayez $5$ de $18$ .

$\frac{13}{2}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{13}{2}$

Forme décimale :

$6.5$

Forme de nombre mixte :

$6 \frac{1}{2}$

Étape 17