Calcul infinitésimal Exemples

$3 y^{3} + 1 + x = x^{3} y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (3 y^{3} + 1 + x) = \frac{d}{d x} (x^{3} y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 y^{3} + 1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 y^{2} y' + 0 + 1$

Étape 2.3.3

Additionnez $9 y^{2} y'$ et $0$ .

$9 y^{2} y' + 1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} y' + y (3 x^{2})$

Étape 3.4

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$x^{3} y' + 3 \cdot y x^{2}$

Étape 3.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$9 y^{2} y' + 1 = x^{3} y' + 3 x^{2} y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $x^{3} y'$ des deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} y' + 1 - x^{3} y' = 3 x^{2} y$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} y' - x^{3} y' = 3 x^{2} y - 1$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $9 y^{2} y' - x^{3} y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $9 y^{2} y'$ .

$y' (9 y^{2}) - x^{3} y' = 3 x^{2} y - 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x^{3} y'$ .

$y' (9 y^{2}) + y' (- x^{3}) = 3 x^{2} y - 1$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (9 y^{2}) + y' (- x^{3})$ .

$y' (9 y^{2} - x^{3}) = 3 x^{2} y - 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (9 y^{2} - x^{3}) = 3 x^{2} y - 1$ par $9 y^{2} - x^{3}$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (9 y^{2} - x^{3}) = 3 x^{2} y - 1$ par $9 y^{2} - x^{3}$ .

$\frac{y' (9 y^{2} - x^{3})}{9 y^{2} - x^{3}} = \frac{3 x^{2} y}{9 y^{2} - x^{3}} + \frac{- 1}{9 y^{2} - x^{3}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $9 y^{2} - x^{3}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (9 y^{2} - x^{3})}{9 y^{2} - x^{3}} = \frac{3 x^{2} y}{9 y^{2} - x^{3}} + \frac{- 1}{9 y^{2} - x^{3}}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y}{9 y^{2} - x^{3}} + \frac{- 1}{9 y^{2} - x^{3}}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{3 x^{2} y - 1}{9 y^{2} - x^{3}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} y - 1}{9 y^{2} - x^{3}}$