Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{2^{x} + 2 e^{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2^{x} + 2 e^{x}}$ comme ${(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2^{x} + 2 e^{x}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2^{x} + 2 e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2^{x} + 2 e^{x}$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 4.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Étape 4.6.2

Associez les fractions.

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Étape 4.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2^{x} + 2 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{x} + 2 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Étape 4.6.2.2

Placez ${(2^{x} + 2 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Étape 4.6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2^{x} + 2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}])$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}])$

Étape 4.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (2^{x} \ln (2) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 4.9

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (2^{x} \ln (2) + 2 e^{x})$

Étape 4.10

Simplifiez

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Étape 4.10.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (2^{x} \ln (2) + 2 e^{x})$ .

$(2^{x} \ln (2) + 2 e^{x}) \frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.10.2

Multipliez $2^{x} \ln (2) + 2 e^{x}$ par $\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2^{x} \ln (2) + 2 e^{x}}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{2^{x} \ln (2) + 2 e^{x}}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2^{x} \ln (2) + 2 e^{x}}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$