Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + y^{2}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ comme ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \ln (y)$ et $g (y) = x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ et $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 9.3

Placez ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Étape 9.4

Multipliez $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 11

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 12

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (2 y)$

Étape 14

Simplifiez les termes.

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Étape 14.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} y$

Étape 14.2

Associez $\frac{2}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$ et $y$ .

$\frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 14.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$