Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} (- 2 x + 4) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} - 2 x + 4 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} - 2 x d x + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 4 d x$

Étape 3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} x d x + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 4 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}) + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 4 d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}) + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} 4 d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}) + 4 x]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $\frac{3}{2}$ et sur $\frac{1}{2}$ .

$- 2 ((\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 4 x]_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}$

Étape 7.1.2

Évaluez $4 x$ sur $\frac{3}{2}$ et sur $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 4 (\frac{3}{2}) - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 7.1.3

Simplifiez

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Étape 7.1.3.1

Associez $4$ et $\frac{3}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{4 \cdot 3}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 7.1.3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{12}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 7.1.3.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 7.1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{2 \cdot 6}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 7.1.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 7.1.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 7.1.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + \frac{6}{1} - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 7.1.3.3.2.4

Divisez $6$ par $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 - 4 (\frac{1}{2})$

Étape 7.1.3.4

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 + \frac{- 4}{2}$

Étape 7.1.3.5

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 7.1.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Étape 7.1.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 7.1.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 + \frac{- 2}{1}$

Étape 7.1.3.5.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 6 - 2$

Étape 7.1.3.6

Soustrayez $2$ de $6$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) + 4$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} + 4$

Étape 7.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$- 2 \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} + 4$

Étape 7.2.1.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- 2 \frac{\frac{9}{2^{2}} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} + 4$

Étape 7.2.1.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 2 \frac{\frac{9}{4} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} + 4$

Étape 7.2.1.2.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \frac{\frac{9}{4} - \frac{1^{2}}{2^{2}}}{2} + 4$

Étape 7.2.1.2.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 2 \frac{\frac{9}{4} - \frac{1}{2^{2}}}{2} + 4$

Étape 7.2.1.2.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 2 \frac{\frac{9}{4} - \frac{1}{4}}{2} + 4$

Étape 7.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 \frac{\frac{9 - 1}{4}}{2} + 4$

Étape 7.2.1.4

Soustrayez $1$ de $9$ .

$- 2 \frac{\frac{8}{4}}{2} + 4$

Étape 7.2.1.5

Divisez $8$ par $4$ .

$- 2 (\frac{2}{2}) + 4$

Étape 7.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 (\frac{2}{2}) + 4$

Étape 7.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 \cdot 1 + 4$

Étape 7.2.1.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 + 4$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 2$ et $4$ .

$2$

Étape 8