Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(1 + x^{2})}^{2} \cdot 6 x d x$

Étape 1

Déplacez $6$ à gauche de ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\int 6 {(1 + x^{2})}^{2} x d x$

Étape 2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int {(1 + x^{2})}^{2} x d x$

Étape 3

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 3.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$6 \int u^{2} \frac{1}{2} d u$

Étape 4

Associez $u^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{u^{2}}{2} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{1}{2} \int u^{2} d u)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$\frac{6}{2} \int u^{2} d u$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int u^{2} d u$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int u^{2} d u$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int u^{2} d u$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{1} \int u^{2} d u$

Étape 6.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 \int u^{2} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ comme $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Étape 8.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 u^{3} + C$

Étape 8.2.3

Multipliez $u^{3}$ par $1$ .

$u^{3} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

${(1 + x^{2})}^{3} + C$