Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Alors $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{3}$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ .

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

Étape 1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ .

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{3}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Étape 1.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Étape 1.3.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{upper} = e^{- 1^{3}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 1}$

Étape 1.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = e^{- 1}$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{e}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int_{1}^{\frac{1}{e}} - \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{\frac{1}{e}}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $- \frac{1}{3} u_{2}$ sur $\frac{1}{e}$ et sur $1$ .

$(- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{e}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{e}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 4.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $e$ .

$- \frac{1}{3 \cdot e} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 4.2.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$- \frac{1}{3 e} + \frac{1}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{3 e} + \frac{1}{3}$

Forme décimale :

$0.21070685 \dots$

Étape 6