Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} - \frac{4}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$9 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$9 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$9 x^{2} - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$9 x^{2} - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$9 x^{2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 x^{2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{2} - 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$9 x^{2} - 4 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$9 x^{2} - 4 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$9 x^{2} - 4 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 x^{2} - 4 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$9 x^{2} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Étape 3.10

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$9 x^{2} + 8 x^{- 3}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 x^{2} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 4.2

Associez $8$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$9 x^{2} + \frac{8}{x^{3}}$